Teoremas de la Geometría Clásica: Geometría en el siglo XIX

La geometría ha sido de todas las ramas de las Matemáticas, la que más ha estado sometida a cambios, según cambiaban las preferencias de una época a otra. En la Grecia clásica alcanzó su cenit, sólo para caer hasta su nadir hacia la época del hundimiento del Imperio Romano. En Arabia y en la Europa renacentista recuperó parte del terreno perdido; durante el siglo XVII se encontraba en el umbral de una nueva era, para ser casi olvidada a continuación durante más de un siglo, al menos por los matemáticos que se dedicaban a la investigación, languideciendo así a las ramas del análisis que proliferaban de una manera exuberante. Inglaterra había librado una batalla perdida, especialmente a finales del siglo XVIII, para reponer los “Elementos de Euclides” en el glorioso lugar que ocuparan antaño, pero lo cierto es que poco se hizo por promover la investigación del tema.

Gaspard Monge

Los esfuerzos de Monge y de Carnot condujeron a un movimiento de renovación de la geometría pura durante el periodo de la Revolución Francesa, pero el verdadero renacimiento, en forma casi explosiva, de la geometría como rama viva de la matemática se produjo a comienzo del siglo XIX. Y, como podría haberse imaginado, la École Polytechnique jugó un papel importantísimo en este movimiento, pues allí fue descubierto el bien  conocido teorema de Brianchon por un estudiante, y se publicó en 1806 en el Journal de la École Polytechnique.

Charles Julien Brianchon (1785-1864) acababa de ingresar en la escuela el año anterior, estudiando con Monge y leyendo la Gèometrie de position de Carnot. Este estudiante de 21 años demostró previamente el teorema de Pascal, olvidado durante largo tiempo, teorema que formulaba Brianchon ya en su forma moderna: “Para todohexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos están en una recta”. Seguidamente, nos encontramos con el teorema que lleva su nombre: “En cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto: el llamado punto de Brianchon”.

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Este tipo de relaciones entre puntos y rectas y con respecto a una cónica fueron explotadas más tarde de manera efectiva por otro alumno de la École Polytechnique, el hombre al que podemos considerar con razón el verdadero fundador de la geometría proyectiva. Nos referimos a Jean-Víctor Poncelet (1788-1867), que estudió también con Monge, ingresó en el cuerpo de ingenieros del ejército con el tiempo justo para tomar parte de la desdichada campaña de Napoleón en Rusia en 1812, permaneciendo preso durante varios años en una cárcel de Moscú.

Jean-Victor Poncelet

A su regreso a Francia se convirtió en la figura más importante quizá del renacimiento de la geometría pura. Entre sus primeros descubrimientos está uno que compartió con Brianchon, en el que demuestran el siguiente resultado:

“ La circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas por los vértices de un triángulo a los lados opuestos, pasa también por los puntos medios de los lados, así como por los puntos medios de los segmentos que unen los vértices del triángulo con el punto de intersección de las tres perpendiculares”.

Este notable teorema no suele llevar el nombre ni de Brianchon ni de Poncelet, sino el de otro matemático, Karl Wilheim Feuerbach (1800-1834), que, de manera independiente, publicó este teorema y otros análogos en 1822.

La obra de Feuerbach, que murió cuando sólo tenía 34 años, puede considerarse como un ejemplo típico de los numerosos resultados nuevos sobre la geometría de la circunferencia y de del triángulo que se fueron descubriendo a lo largo del siglo XIX.

En este clip de vídeo presento de manera animada algunos de los teoremas y resultados que hemos glosado en este artículo. Ver a pantalla completa y con 720p. Espero sea de su agrado.

C.R. Ipiéns

El Almagesto: El modelo Ptolemáico

Hiparco fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego (nacido en Nicea alrededor de 190 a. C. – y muere alrededor de 120 a. C.).

Hiparco de Nicea

 Nace dos años antes de la muerte de Eratóstenes, del que fue sucesor en la dirección de la Biblioteca de Alejandría. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas; la división del día en 24 horas de igual duración (hasta la invención del reloj mecánico en el siglo XIV las divisiones del día variaban con las estaciones); el descubrimiento de la precesión de los equinoccios; la distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas.

Epiciclo solar

Se debe a él la elaboración del primer catálogo de estrellas que contenía la posición en coordenadas eclípticas de 1080 estrellas. Influyó en Hiparco la aparición de una estrella nova, Nova Scorpii en el año 134 a. C. y el pretender fijar la posición del equinoccio de primavera sobre el fondo de estrellas.

Como hemos dicho, Hiparco es el inventor de la trigonometría, construyó una tabla de cuerdas, que equivalía a una moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Ahora bien, los triángulos dibujados sobre la superficie de la esfera celeste no son planos sino esféricos constituyendo la trigonometría esférica.

Claudius Ptolemaeus

Es por otra parte el Teorema de Menelao el que juega un papel fundamental en la trigonometría esférica y en Astronomía, pero no obstante la obra trigonométrica más significativa y que tuvo una mayor influencia, con mucha diferencia sobre las demás de toda la antigüedad, fue la Sintaxis Matemática, una obra en trece libros escrita por Ptolomeo de Alejandría medio siglo más o menos después de Menelao, esta obra fue distinguida de otro tipo de tratados astronómicos con la denominación de la colección <Mayor>. De las frecuentes referencias a ella como “Magiste”, surgió más tarde en Arabia la costumbre de llamar al libro de Ptolomeo Almagesto (el más grande), y desde entonces la obra ha sido conocida por este nombre.

Se supone que el Almagesto de Ptolomeo debe mucho, por lo que se refiere a los métodos utilizados, a la tabla de cuerdas construida por Hiparco, pero la magnitud de esta deuda no puede establecerse con seguridad. Está claro que Ptolomeo debió usar en su astronomía el catálogo de posiciones de estrellas que dejó Hiparco, pero no podemos determinar si las tablas trigonométricas de Ptolomeo fueron extraídas en gran parte de su ilustre predecesor o no, ni, en caso afirmativo, en qué medida.

En el cálculo de las cuerdas por Ptolomeo desempeñó un papel fundamental el Teorema de Meneleao y una proposición geométrica que se conoce aún en la actualidad como Teorema de Ptolomeo:

Ver Clip: (Pantalla completa 720P HD)

Armado de las fórmulas para las cuerdas de las sumas y diferencias de arcos y para la cuerda del arco mitad, y con un valor bien calculado para la cuerda de un arco de ½º, se dispuso por fin Ptolomeo a construir su tabla, correcta hasta el último segundo de todos los arcos desde ½º hasta 180º, de medio en medio grado, formando parte del primer libro del Almagesto, constituyendo así una herramienta indispensable para los astrónomos a lo largo de más de mil años. Los doce libros restantes de este célebre tratado contienen, entre otras cosas, el bello desarrollo matemático de la teoría de ciclos y epiciclos (movimiento retrógrado) para el movimiento de los planetas, que se conoce como sistema de Ptolomeo o Ptolemáico.

Igual que Arquímedes, Hiparco y la mayoría de los grandes pensadores de la antigüedad, Ptolomeo postuló un Universo geocéntrico, debido a que una tierra en movimiento daba lugar a graves dificultades, tales como la ausencia de paralaje estelar apreciable y las aparentes inconsistencias de un teórico movimiento de la Tierra con los fenómenos de la dinámica terrestre. En comparación con estos problemas, el carácter inverosímil de la inmensa velocidad que se requeriría para que la esfera de las estrellas “fijas”  girase diariamente alrededor de la Tierra, parecía reducirse a algo insignificante.

El sistema Ptolemáico, además de mostrarse muy de acuerdo con el sentido común, ofrecía la ventaja de poder representarse con mucha facilidad. Los planetarios, por ejemplo, se construyen como si el universo fuese geocéntrico, puesto que de esta forma los movimientos aparentes de los astros se reproducen más fácilmente.

Platón le había propuesto a Eudoxio el problema astronómico de “salvar los fenómenos”, es decir, de idear un artificio matemático tal como, por ejemplo, una combinación de movimientos circulares uniformes, de manera que sirviera como modelo de los movimientos aparentes de los planetas, pero el sistema de Eudoxo de las esferas homocéntricas fue abandonado casi completamente por los matemáticos a favor del sistema de ciclos y epiciclos de Apolonio e Hiparco.

Ptolomeo hizo a su vez una modificación esencial en este último modelo. En primer lugar desplazó la Tierra un poco del centro del círculo diferente, con lo que se tenían en realidad órbitas excéntricas; este cambio ya había sido propuesto con anterioridad, pero Ptolomeo introdujo además una novedad tan drástica y radical en sus implicaciones filosóficas y científicas que Copérnico, mucho más tarde, no pudo aceptarla, por muy eficaz que resultara ser el artificio en cuestión, conocido con el nombre de “ecuante”, para reproducir los movimientos planetarios. Después de repetidos ensayos infructuosos Ptolomeo no consiguió ajustar ningún sistema de ciclos, epiciclos y excéntricos que representase con exactitud los movimientos observados de los planetas.

En definitiva, el “truco” empleado por Ptolomeo tenía solamente una utilidad cinemática y no con exactitud, y no hacía desde luego ningún esfuerzo por contestar a las cuestiones de carácter dinámico que planteaban de manera clara los movimientos circulares no uniformes.

En este clip se presenta una breve descripción del modelo geocéntrico de Aristóteles (la más bella mentira que perduró más de un milenio) y la consolidación que hace de él Ptolomeo.

Corea del Norte: La historia de una tristeza

Presidentes Eternos de la República, a los que se le rinden un pronunciado culto y sumisión.

Corea del Norte

Ocupa la porción septentrional de la península de Corea, situada al este de la República Popular China, entre los mares del Japón y Amarillo. Limita al norte con China, al noreste con Rusia, al este con el mar del Japón, al sur con la República de Corea (Corea del Sur o Surcorea) y al oeste con la bahía de Corea y el mar Amarillo.

Puente inacabado.
¿Autopistas?

La península fue gobernada por el Imperio Coreano hasta que fue anexada por Japón después de la Guerra Ruso-Japonesa de 1905. La península sería dividida en 1945 en dos zonas, la ocupada por los soviéticos y la ocupada por Estados Unidos, justo después de la Segunda Guerra Mundial.

Corea del Norte rechazó participar en las elecciones celebradas en 1948 al amparo de las Naciones Unidas, que finalmente crearía dos gobiernos independientes en cada una de las zonas ocupadas. Ambas Coreas reclaman la Península de Corea a plenitud, lo que las llevaría a la Guerra de Corea en 1950. La firma del armisticio en 1953 terminó con la lucha; sin embargo, oficialmente los dos países siguen en guerra y todavía no se ha firmado un tratado de paz.

Corea del Norte se autodescribe como una república socialista autodependiente. Sin embargo, se rinde un pronunciado culto hacia la personalidad de Kim Il Sung -el fundador de Corea del Norte y el primer y único presidente del país- y su hijo y heredero Kim Jong-Il. Tras la muerte de Kim Il Sung en 1994, éste no fue reemplazado sino que se le nombró Presidente Eterno de la República y se le enterró en el enorme Palacio Memorial de Kumsusan, en el centro de Pionyang.

Kim Jong-Il fue comandante supremo del ejército, presidente de la Comisión de Defensa Nacional y jefe del comité militar del Partido de los Trabajadores de Corea, pero hasta julio de 1995 no había asumido formalmente la jefatura del Estado y del partido, que quedaron vacantes a la muerte de Kim Il Sung.

El hijo menor de Kim Jong-Il, Kim Jong-Un, fue nombrado heredero de los poderes políticos de su padre en octubre de 2010 a los 27 años de edad, ante la caída en desgracia del hijo mayor, Kim Jong-Nam. Actualmente ocupa el lugar de su padre, Kim Jong-IL tras la muerte de éste.

Songbun (sistema de castas)

En 2012, las autoridades norcoreanas dividieron en un sistema de castas (denominado Songbun) a la población del país según su lealtad al régimen en tres grupos distintos:

  • Los “leales”: Lo forman los descendientes de los que combatieron contra la Ocupación japonesa de Corea y los familiares de los soldados fallecidos en la Guerra de Corea, así como los pequeños campesinos y los trabajadores. Los miembros de este grupo tienen derecho a residir en la capital, Pionyang, y preferencias en el acceso a viviendas, alimentos, tratamiento médico y empleos.
  • Los “vacilantes”: A este grupo pertenecen los familiares de artesanos, pequeños comerciantes, repatriados desde China e intelectuales. Están empleados como técnicos de baja formación y viven estrechamente vigilados.
  • Los “hostiles”: Esta casta incluye a los descendientes y familiares de los que colaboraron Japón durante la ocupación y de los opositores al fundador del régimen, Kim Il Sung. También forman parte de los “hostiles” los familiares de personas huidas a Corea del Sur, de empresarios, de personalidades religiosas y de aristócratas. A este grupo se le somete a los trabajos más peligrosos y duros en las regiones más remotas, reciben escasas raciones de alimentos, sufren discriminación a la hora de entrar en la escuela o de casarse y están sometidos a continua vigilancia.

(Algo positivo): La Salud

El sistema sanitario de Corea del Norte es de acceso público y gratuito. Según la directora general de la OMS Margaret Chan, el país brinda un sistema de salud extenso, con un médico por cada 130 familias. La infraestructura sanitaria está muy elaborada, presenta una buena cobertura de inmunización infantil, y el gobierno colabora en conjunto con el Fondo Mundial contra el Sida, la Tuberculosis y la Malaria y también con la Alianza Mundial por Vacunas e Inmunización. Sin embargo, Margaret Chan sostiene que deben mejorarse ciertos puntos en cuanto al sistema de salud, como por ejemplo las largas distancias que separan a algunos pacientes de sus centros médicos, y el acceso a nuevas tecnologías que permitan documentar los expedientes médicos usando recursos informáticos, ya que actualmente la mayoría se hacen a mano.

No obstante, la doctora Chan destacó que hubo grandes avances en cuanto a salud materno infantil, por la cual mostraba particular preocupación, así como también señaló que en cuanto a las hambrunas que antaño asediaron el país durante una época de desastres naturales, la situación actual al menos muestra que los coreanos actualmente presentan la misma talla y mismo peso que un asiático promedio.

Por otro lado, Corea del Norte es el segundo país del mundo con mayor cantidad de camas de hospital por habitante, lo que lo sitúa por debajo únicamente de Japón, y también es el único país del mundo sin ningún caso registrado de SIDA; pero sin embargo aún presenta gravísimas deficiencias alimentarias de ciertos productos, principalmente calcio y leche, debido a la escasez de tierra cultivable y a los embargos económicos que impiden el intercambio comercial con el extranjero.

He realizado este clip con la intención de transmitir la sensación de desnudez y tristeza que me produce este maravilloso país.

Vídeo, Corea del Norte: La historia de una tristeza

Autor: C.R. Ipiéns

Los mitos griegos

Después de unos días retomo el blog y lo hago presentando esta colección de postales que adquirí en mi primer viaje a Grecia en el Mercado Turco de Atenas, las leyendas están tomadas del libro Los mitos Griegos de Robert Graves.

Las imágenes son -creo- suficientemente ampliables para poder leer el texto, espero sean de su agrado.

Hermes

Prometeo

Prometeo
Dédalo e Ícaro

Hércules

Afrodita

Poseidón

Apolo

El auriga de Delfos

Trópico de Capricornio

(Del lat. tropĭcus, y este del gr. τροπικός).

Los trópicos son cada uno de los dos círculos menores que se consideran en la esfera celeste, paralelos al Ecuador y que tocan a la Eclíptica en los puntos de intersección de la misma con el coluro (En astronomía se llama coluro a cada uno de los dos meridianos principales de la esfera celeste, uno de los cuales pasa a través de los polos celestes y los puntos del equinoccio-coluro equinoccial-, y el otro pasa a través de los polos celestes y los puntos del solsticio –coluro solsticial-.) de los solsticios. El del hemisferio boreal se llama trópico de Cáncer, y el del austral, trópico de Capricornio.

Colure

El Trópico de Capricornio es el trópico del hemisferio sur. Es el paralelo situado actualmente (2012) a una latitud de 23º 26′ 16″ al sur del Ecuador (en el año 1917 estuvo en 23° 27′).

Esta línea imaginaria delimita los puntos más meridionales en los que el Sol puede ocupar el cénit (la vertical del lugar) a mediodía. En el Trópico de Capricornio, por lo tanto, los rayos solares caen verticalmente sobre el suelo en el instante en que ocurre el solsticio de diciembre, lo que acontece entre el 21 y el 22 de diciembre, fecha y hora dadas en tablas astronómicas en horario de tiempo universal coordinado (UTC).

Hito al Trópico de Capricornio. Región de Antofagasta, Chile
Hito al Trópico de Capricornio. Región de Antofagasta, Chile

El Trópico de Capricornio señala el límite meridional de la llamada Zona Intertropical, comprendida entre los trópicos de Capricornio y Cáncer.

Se le denomina «de Capricornio» porque en la antigüedad, cuando se producía el solsticio de invierno en el hemisferio sur, el Sol estaba en la constelación de Capricornio.

En la actualidad está en la constelación de Ofiuco, pero el nombre Trópico de Capricornio continúa siendo el aceptado por tradición.

El Trópico de Capricornio pasa a través de los siguientes países, partiendo del Meridiano de Greenwich hacia el oeste:

  • Brasil
  • Paraguay
  • Argentina
  • Chile
  • Polinesia Francesa (Francia) – justo al sur de Tubuai
  • Tonga – justo al norte de los Arrecifes Minerva
  • Islas del Mar del Coral (Australia) – justo al sur del arrecife Cato
  • Australia
  • Madagascar
  • Mozambique
  • Sudáfrica
  • Botsuana
  • Namibia

Acompaño esta entrada con este precioso Tryller del fotógrafo Greg Kiss, quien nos lleva por los países que atraviese este trópico. La música es de Phil Curran.

Amedeo Modigliani (Faces)

Amedeo Clemente Modigliani (Livorno; 12 de julio de 1884 – París; 24 de enero de 1920). Arquetipo del artista bohemio, en su vida hubo estupefacientes, alcohol, mujeres, pobreza y enfermedad, y sólo alcanzó la fama después de muerto.

1919 Modigliani Jeanne Hebuterne Anagoria

No  fue un maestro, porque no dejó discípulos. Su obra no tuvo continuadores, tal vez porque es demasiado personal y única.

En una época en que los artistas producían abundantes declaraciones de principios, manifiestos, definiciones absolutas, y formaban grupos desafiantes y aguerridos, Modigliani pintó y esculpió fuera de cualquier programa. En medio de la resaca de la producción de aquellos años, su obra emerge con una pureza y una fuerza que el tiempo no hace sino resaltar con brillo cada vez más nítido.

Amedeo Modigliani. Christina

En este vídeo quiero poner de manifiesto su bohemia en los rostros que pinta en sus famosos retratos. Espera sea de su agrado.

Amedeo Modigliani (Faces)

Vídeo: C. R. Ipiéns.

Marc Chagall y Zbigniew Preisner

Marc Chagall (Vitebsk, 1887 – Saint-Paul-de-Vence, 1985) desarrolló un estilo pictórico expresivo y colorista muy vinculado a sus experiencias vitales y a las tradiciones religiosas y populares de la comunidad judía rusa.

En él combinó ciertos elementos de la vanguardia cubista, del fauvismo y del orfismo de Robert Delaunay para crear un estilo personal e inclasificable. Hijo mayor de nueve hermanos, se formó artísticamente en la ciudad de San Petersburgo junto a Léon Bakst. En el verano de 1910 se trasladó a París, donde quedó profundamente impresionado por las galerías y Salones de la capital francesa.

Ópera de París

En los años siguientes expuso en el Salon d’Automne y en el Salon des Indépendants. A través de Guillaume Apollinaire conoció al marchante berlinés Herwarth Walden, que seleccionó tres obras de Chagall para el primer Herbstsalonde 1913 en Berlín y en cuya galería, Der Sturm, presentó su primera exposición individual en 1914.


Desde Berlín viajó a Vitebsk, su ciudad natal, donde le sorprendió la guerra. En 1915 contrajo matrimonio con Bella Rosenfeld y, tras la Revolución rusa, ejerció durante dos años como director de la Escuela de Arte de Vitebsk. Debido a sus diferencias con Kazimir Malévich, tuvo que abandonar la academia y pasó a ser director del Teatro Estatal Judío de Moscú en 1919.


En 1922 Chagall abandonó Rusia para siempre y, tras pasar una corta temporada en Berlín, en 1923 se instaló en Francia. Allí vivió el resto de su vida a excepción de un periodo, entre 1941 a 1948, que residió en Estados Unidos para evitar ser deportado y durante el que, en 1946, el Museum of Modern Art de Nueva York celebró una exposición retrospectiva de su obra que consolidó su reputación internacional.


En el transcurso de su larga trayectoria trabajó también en el campo de la ilustración y experimentó con todo tipo de soportes como la cerámica, el relieve y los mosaicos.

Asimismo, diseñó la puesta en escena de diversas piezas de teatro y ópera y durante los últimos treinta años de su vida se dedicó intensamente al diseño de vidrieras; realizó, entre otras, las de la catedral de Metz y las de la sinagoga del Hebrew University Hadassah Medical Centre de Jerusalén.

En este vídeo he acompañado el color de Chagall, con el compositor musical de Tres Colores: Zbigniew Preisner. Espero sea de su agrado.

Vídeo: Marc Chagall y Zbigniew Preisner

C.R. Ipiéns