El problema de Apolonio (1 y 2); Tangencias: Apolonio de Perga

En recuerdo de Edmond Halley, el gran  admirador de la obra de Apolonio, en el año del acercamiento de su cometa.

D. Miguel de Guzmán; Insigne Matemático Español.

Así dedicaba el inolvidable y egregio profesor D. Miguel de Guzmán un artículo sobre Apolonio escrito en 1986. Sirva esta entrada como mi humilde tributo a D. Miguel de Guzmán, quien glosaba la figura de éste irrepetible geómetra, en los términos que siguen: (Tomo literal de su artículo)

“De los tres grandes matemáticos del helenismo, Euclides, Arquímedes y Apolonio, este último ha sido el menos conocido a lo largo de los siglos. Aunque del personaje Euclides no sabemos casi nada, su obra fue pronto el paradigma de la sistematización del saber matemático, la obra de los fundamentos, y conservó este halo por siempre. Arquímedes, por su genio polifacético y por las leyendas creadas alrededor de su persona, coronadas con la historia de su muerte, es sin duda, de entre los tres, la figura más conocida universalmente”.

Apolonio representa la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia.

Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de él se había escrito en el campo de su mayor brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por Edmond Halley en 1710.

La mayor parte de los exiguos datos conocidos sobre la vida de Apolonio provienen de unas pocas noticias que el propio autor reseña en las introducciones a algunos de los libros de su magna obra Las Cónicas. Se sabe que nació hacia el año 262 a.C., en Perga, región de Panfilia (la actual Antalya, Turquía).

Ágora en Perga, actual Antalya es una ciudad situada en la costa mediterránea del suroeste de Turquía.

Estudió en el Museo de Alejandría con los sucesores de Euclides; y residió tanto en la propia capital alejandrina como en Éfeso y Pérgamo, urbe que gozaba del prestigio de una Biblioteca y un emporio académico del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Según relata Pappus (siglo IV d.C) en La Colección Matemática, donde aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio, el Gran Geómetra era de trato difícil y tenía un carácter melancólico e irascible. El gran historiador de la matemática F.Vera en su edición de Las Cónicas (en Científicos griegos. Aguilar, Madrid, 1970, p.301) dice que «Apolonio era un genio de mal genio».

Cónicas de Apolonio

La influencia de Apolonio en los geómetras griegos y árabes fue muy profunda. No en vano Apolonio fue llamado El Geómetra en la Antigüedad. Sobre porciones más o menos extensas de su obra escribieron comentarios Pappus (IV d.de C.) Serenus Antissensis (IV), Hyppathia (V), Eutoquio (VI), Abalphat de Ispahan (X), Abdomelek de Chiraz (XIII),…

Secciones cónicas

La obra de Apolonio comienza a filtrarse hacia Occidente lentamente por vía de la matemática árabe. Vitelio, monje polaco establecido en Italia, escribe en 1260 un tratado de óptica, que en el fondo es un comentario al tratado de óptica del árabe Al-Hazen, que residió en la península ibérica en el siglo XI, y en el que se contienen diversas proposiciones geométricas de Apolonio.

Siendo “Las cónicas” su obra más conocida, Apolonio escribió unas cuantas obras más que se difundieron bastante en su entorno, una buena parte relativa a geometría, otras a campos de la física donde sus profundos conocimientos geométricos más pudieron aportar, como es el caso del estudio de la reflexión sobre espejos curvos, otras de astronomía, campo este en el que Apolonio ejerció una notable influencia, viniendo citado explícitamente por Tolomeo, autor del Almagesto (ca.140 d.de C.) como responsable de un importante teorema en la teoría de epiciclos. Pero parece cierto que las otras obras matemáticas de las que nos han llegado noticias fueron de interés más bien puntual, a juzgar por el tipo de problemas que trataban. He aquí una descripción sucinta de  dos de ellas: Sobre la sección de la razón (logou apotomh) y Tangencias.

La única obra, aparte de las Cónicas, que ha sobrevivido hasta nosotros, tiene por título Sobre la sección de la razón (logou apotomh) que fue conservada en árabe y traducida por Halley al latín en 1706. Halley había hecho el esfuerzo de aprender árabe a fin de ser capaz de leer esta obra de Apolonio.

La obra que en esta entrada tratamos es “Las tangencias”.

La obra titulada Tangencias,  se hizo especialmente famosa a lo largo de la historia por contener lo que se vino a llamar el Problema de Apolonio.

Dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, se pide hallar una circunferencia que sea tangente a ellos (pase por ellos en el caso de puntos). El caso más complicado, dadas tres circunferencias hallar otra tangente a las tres, es el mencionado problema de Apolonio. No conociéndose exactamente la solución de Apolonio, esta cuestión interesó vivamente a muchos matemáticos famosos, entre ellos Vieta, Descartes, Newton, Euler, Poncelet,…

Conocemos como “problemas de Apolonio”, al siguiente problema de tangencias:

Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, punto, recta o circunferencia, construir la/las  circunferencias que sean tangentes a los tres (en el caso de puntos, que pase por ellos).

Llamaremos

P:  que pase por un punto.

R:  que sea tangente a una recta.

C:  que sea tangente a una circunferencia.

Se obtienen los siguientes 10  casos:

1.- PPP    Construir una circunferencia que pase por tres puntos dados.

2.- PPR    Dados dos puntos y una recta, construir la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

3.- RRR    Construir una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadas.

4.- PPC    Dados dos puntos y una circunferencia, hallar la circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la circunferencia.

5.- PRR    Dado un punto y dos rectas, construir la circunferencia que pase por el punto y sea tangente a las dos rectas.

6.- PRC   Dado un punto, una recta, y una circunferencia, hallar la circunferencia que sea tangente a la recta y circunferencia dadas y pase por el punto.

7.- PCC   Hallar una circunferencia que sea tangente a dos circunferencias dadas y pase por un punto.

8.- RRC   Construir la circunferencia que sea tangente a dos rectas y una circunferencia dadas.

9.- RCC   Construir una circunferencia tangente a otras dos circunferencias y una recta.

10.- CCC Construir una circunferencia que sea tangente a tres circunferencias dadas.

Solución al problema 10 (CCC) de Apolonio.

Se habla a veces, del Problema de Apolonio, suele referirse en este caso al ultimo de los enunciados, esto es, construir una circunferencia tangente a otras tres circunferencias dadas. Este es el más complicado de los 10 anteriores, y del que no se conoce la solución que dio el propio Apolonio.

En esta entrada damos solución gráfica a los dos primeros problemas de Apolonio, siendo ésta una de una serie en construcción donde se tratará la solución de los diez problemas propuestos por Apolonio en su “Tangencias”.

Ver el vídeo a pantalla completa con 720p HD, es una opción.

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4 comentarios sobre “El problema de Apolonio (1 y 2); Tangencias: Apolonio de Perga

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