Superficies de Kummer: Arte y Belleza en las Matemáticas.

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Ernst Eduard Kummer (29 de enero de 1810 en Sorau, Brandeburgo, Prusia – 14 de mayo de 1893 en Berlín, Alemania) fue un matemático alemán. Altamente capacitado para la matemática aplicada. Kummer enseñó en un Gymnasium (el equivalente alemán a un instituto), donde inspiró la carrera matemática de Leopold Kronecker.

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Cono cuadrático. Superficie de grado 2 más simple de singularidad 1. x^2+y^2+z^2=0; μ(2)=1

Una superficie es no singular o lisa si no tiene, en términos intuitivos, puntas, aristas o pliegues (tales puntos se llaman singularidades). La esfera y el toro son ejemplos de superficies lisas.

El cono cuadrático posee un solo punto singular del tipo más simple posible, el único tipo que se puede describir mediante una ecuación de grado 2.

Una superficie se parece mucho al plano a escala pequeña: excepto en algunos pocos puntos (los que llamaremos singularidades), la vecindad de cualquier punto de la superficie es una copia exacta de la vecindad de un punto del Plano Euclidiano.

Las singularidades pueden ser de diferentes tipos: cúspides, auto intersecciones, nodos, etcétera. Los nodos son las singularidades más sencillas: son aisladas y se parecen al vértice de un cono cuadrático.

Superficie de Kummer

Cuártica de Kummerrr2
CUÁRTICA DE KUMMER: (x^2+y^2+z^2-(0.5+2*a)^2)^2-(3.0*((0.5+2*a)^2)-1.0)/(3.0-((0.5+2*a)^2))*(1-z-sqrt(2)*x)*(1-z+sqrt(2)*x)*(1+z+sqrt(2)*y)*(1+z-sqrt(2)*y)=0; μ(4)=16

¿Cuántas singularidades puede tener una superficie en el espacio tridimensional? Una respuesta parcial a esta pregunta depende del grado de la ecuación que define a la superficie. (Porque las ecuaciones se organizan por grados: cuadráticas o de grado 2, cúbicas o de grado 3, etcétera).

En 1875, Ernst Kummer planteó el problema de hallar el máximo número μ(d) puntos singulares que puede tener una superficie de grado “d” y resolvió el caso de las cuárticas (d=4), para el que obtuvo como resultado μ(4)=16. Construyendo la familia que llamamos Superficies de Kummer.

Cualquier superficie de grado cuatro en el espacio tridimensional con exactamente 16 nodos se le conoce como Superficie de Kummer.

La superficie de Kummer, es un caso particular de las superficies K3 de André Weil (este nombre se les dio por el pico del Himalaya descubierto al tiempo del trabajo de Weil. Otra explicación es que K3 viene del trío de matemáticos Kummer, Kodaira y Kähler). Las superficies K3 son las variedades de Calabi-Yau de dimensión dos, y han jugado un papel importante en la teoría de cuerdas.

Algunas Superficies de la Familia de Superficies de Kummer.

Nota: Las siguientes imágenes han sido generadas utilizando el programa SURFER.

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