Teselas de La Alhambra: Teselaciones Periódicas del Plano

Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo,  no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.
Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo, no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.

En la mitología griega las musas (en griego antiguo μοῦσαι mousai) eran, según los escritores más antiguos, las diosas inspiradoras de la música y, según las nociones posteriores, divinidades que presidían los diferentes tipos de poesía, así como las artes y las ciencias.

La palabra griega μoυσα-ης (mousa-es) significa ‘musa’; μουσειoς-α-oν (mouseios-a-on), ‘concerniente a las musas’; μoυσειoν-oυ (mouseion-ou), ‘templo de las musas’, ‘lugar donde residen las musas’.

Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.
Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.

La palabra μoυσειoν (mouseion) dio origen al latín musivus -a -um, que es el antecedente de mosaico. Se dice que los romanos consideraban tan exquisito el arte de hacer mosaicos que pensaban que solo podían crearlo las musas o los favorecidos por ellas.

Un mosaico (del latín mosaĭcum [opus], ‘[obra] relativa a las Musas, artística’) es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso, u otro aglomerante, para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas. Cuando las piezas empleadas son de madera se denomina taracea.

Suelo de la Domus Augustana
Suelo de la Domus Augustana

Teselas

La tesela es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες.

Los romanos elaboraban los mosaicos con estas pequeñas piezas llamadas teselas, de ahí que se refiriesen a ellos también como opus o ars tessellatum. Las teselas son piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas o materiales de vidrio o cerámicas, muy cuidadas y elaboradas y de distintos tamaños. El artista las disponía sobre la superficie, como un rompecabezas, distribuyendo el color y la forma y aglomerándolas con una masa de conglomerante.

Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.
Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.

En el mundo griego fue muy frecuente y desde muy temprano (desde fines del siglo V a. C.) el pavimento compuesto por guijas de río (piedrecillas que se encuentran en las orillas) de tamaños y de colores distintos. Con estas guijas se hacían dibujos sencillos de temas geométricos. A finales del siglo III a. C., las teselas vinieron a sustituir estos guijarros polícromos.

Los romanos llegaron a dominar el trabajo hecho con las teselas. Las primeras obras se hacían con teselas muy pequeñas y ya en época imperial el tamaño se hizo mayor, de un centímetro cuadrado. El mosaista llamado Sosos de Pérgamo hizo en el mosaico que se conoce con el nombre de Las palomas el trabajo de un gran profesional; este mosaico está compuesto con teselas muy pequeñas: sesenta teselas ocupan el espacio de un centímetro cuadrado.

Mosaico de Leda y el cisne en el Santuario de Afrodita (Palea Paphos), ahora en el Cyprus Museum, Nicosia.
Mosaico de Leda y el cisne en el Santuario de Afrodita (Palea Paphos), ahora en el Cyprus Museum, Nicosia.
Mosaico Villa Romana
Mosaico Villa Romana
Satiro y ninfa, mosaico romano, Casa del Fauno Pompeya.
Satiro y ninfa, mosaico romano, Casa del Fauno Pompeya.

Las teselas se colocaban sobre un lecho de conglomerante casi líquido. Era una técnica que puede compararse con el puntillismo de los pintores impresionistas del siglo XIX. Para fabricar un pavimento hecho de mosaico había que seguir una serie de pasos que con el tiempo se fueron perfeccionando. El lugar de fabricación era un taller especial. Allí lo primero que se hacía era diseñar el cuadro y este trabajo tomaba el nombre de emblema, voz tomada del griego que viene a significar “algo que se incrusta en”.

Mosaico de las palomas, Museos Capitolinos.
Mosaico de las palomas, Museos Capitolinos.

Significado y Sinónimos

Tesela: Pieza de los dibujos de un mosaico.

El concepto de teselación no forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE). El término que sí aparece es teselado, referido a aquello que se compone de teselas. Las teselas, a su vez, son los distintos fragmentos que forman parte de un mosaico (obra que se compone a partir de diferentes piezas o trozos).

Teselación: cubrir con teselas pavimentos, bóvedas,… cualquier superficie plana.

Sinónimos: Teselar, azulejar, alicatar, enlosar, embaldosar, solar, adoquinar, empedrar, pavimentar,…

Definición:

Una teselación (mosaico) del plano es una colección de regiones (Teselas, compactos con interior no vacío) llamadas “teselas” tales que:

  • Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera.
  • La unión de las teselas cubre totalmente el plano.

Tipos de Teselaciones:

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Un poco de Historia

En 1936 Alan Turing demostró la existencia de problemas o situaciones para los que no existen algoritmos finitos; entre estos problemas, que engrosaron los indecidibles de Gödel, se encuentran algunas cuestiones que plantean las teselaciones Aperiódicas o  No Periódicas. Más recientemente se ha sumado a éstos “indecidibles”, el problema de si las ecuaciones diofánticas, -Sistemas de ecuaciones polinómicas de coeficientes enteros con soluciones enteras- poseen o no tales soluciones. En estos momentos no existe ningún argumento matemático fiable que avale tal cuestión.

Sin embargo, el ambiente geométrico en el que se desarrollan las teselaciones del plano y del espacio están gobernadas por este tipo de ecuaciones y gran número de ellas se encuentran determinadas de forma precisa.

Una teselación se denomina “periódica” si existe una sección finita de la teselación (que puede estar formada por varias teselas) que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas (sin recurrir a giros o reflexiones), crear la teselación completa.

Una teselación es “aperiódica” o no periódica cuando no tiene traslaciones que hagan que coincida consigo misma.

Teselaciones periódicas: Teselaciones poligonales

Si nos planteamos un método eficaz con el que poder construir mosaicos fácilmente nos encontraremos con que un modo sencillo de hacerlo es usando distintos polígonos. No tenemos más que pensar en las típicas baldosas que ocupan los espacios de nuestras cocinas o los suelos. Si el mosaico está formado por un único tipo de polígonos regulares iguales se dice que el mosaico o la teselación es regular y, si está formado por más de un tipo de polígono regular se dice que es semi-regular. Si los polígonos son irregulares, decimos que la teselación es irregular.

Teselaciones Regulares.

Un primer planteamiento en el estudio de cómo teselar periódicamente el plano, sería el de la utilización de teselas poligonales. Diseños con este tipo de teselas aparecen en motivos  ornamentales de múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe…). Los mosaicos poligonales planos han sido detalladamente estudiados.

El primer paso, consiste en emplear un único polígono regular.

Encontrar los polígonos regulares que teselan el plano, se reduce a resolver la siguiente ecuación diofántica:

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Siendo x1 el número de polígonos y x2 el número de lados que concurren en un vértice. Las soluciones que se obtienen para esta ecuación son:

X1=6; x2=3, es decir, seis triángulos.

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Nota: Para teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º. (Entendemos 360º por Plano)

Una segunda solución es: X1=4; x2=4, es decir, cuatro cuadrados. Para que un cuadrado tesele el plano será necesario que concurran 4 figuras en un mismo vértice, pues: 360º : 90º = 4

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Por último, una tercera solución es la que viene dada por: X1=3; x2=6, es decir, tres hexágonos.

Como en las figuras anteriores podemos deducir que necesitamos que concurran 3 hexágonos en un vértice para teselar el plano, ya que:  360º/120º=3

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Paseo de Gracia (Gaudí)
Paseo de Gracia (Gaudí)

Vemos que el plano no se puede recubrir con pentágonos regulares puesto que 360º no es divisible por 108º que es la medida de un ángulo interior de un pentágono: 360º = 3 · 108º + 36º.

Tesa pent

En general, tal como se ha mencionado anteriormente, para poder teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º (identificamos el plano con 360º) para que no queden huecos y poder ocupar todo el espacio del mosaico.

El siguiente paso sería plantear teselaciones con más de un polígono regular, a este nuevo tipo de teselaciones les llamamos semi-regulares.

Teselaciones Semi-regulares

 Una Teselación semi-regular consiste en una pavimentación del plano con un mosaico d polígonos regulares de vértices comunes y arbitrario número de lados; conocer el número posible de ellas, se reduce a resolver la ecuación:

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Donde mi es el número de polígonos de xi lados que concurren en un vértice.

Para el caso de sólo dos tipos de polígonos, la ecuación anterior adquiere la forma:

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Que posee el siguiente conjunto de soluciones (Seis):

  • m1=3, m2=2; x1=3, x2=4: Tres triángulos y dos cuadrados.

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  • m1=2, m2=2; x1=3, x2=6: Dos triángulos y dos hexágonos.

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  • m1=4, m2=1; x1=3, x2=6: Cuatro triángulos y un hexágono.

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  • m1=1, m2=2; x1=3, x2=12: Un triángulo y Dos dodecágonos.

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  • m1=1, m2=2; x1=4, x2=8; Un cuadrado y dos octógonos.

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  • m1=2, m2=1; x1=5, x2=10; Dos pentágonos y un decágono.

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Para el caso de tres polígonos se incorporan dos soluciones más:

  • Un triángulo dos cuadrados y un Hexágono

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  • Un cuadrado, un hexágono y un dodecágono:

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mosaicos

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Teselaciones Demi-Regulares

Una teselación demi-regular, también llamada una teselación polimorfa, es un tipo de teselación cuya definición es un tanto problemática. Algunos autores las definen como composiciones ordenadas de las tres regulares y las ocho teselaciones semirregulares, mientras que otros los definen como un mosaico que tiene más de una clase transitividad de vértices (que conduce a un número infinito de posibles teselados).

El número de mosaicos demi-regular comúnmente se da como 14 (Critchlow 1970; Ghyka 1977;  Williams 1979; Steinhaus 1999). Sin embargo, no todas las fuentes aparentemente dan el mismo resultado. Por lo tanto, es necesario tener precaución al tratar de determinar qué se entiende por “teselación demi-regular.”

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Los 20 teselados de la ilustración anterior fueron descubiertos por primera vez, por Krötenheerdt en 1969; Grünbaum y Shephard en 1986 estructurarían estos teselados con más precisión.

Cuando sólo usamos los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares. Algunos de ellos son:

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Más tamaños   Branco e Azul   Flickr  ¡Intercambio de fotos

Teselaciones Irregulares

 Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselen el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el “encaje” con otra tesela con igual forma.

Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo completo, para tal efecto veamos dos ejemplos de la distribución del pentágono:

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Teselación de El Cairo

Hay algunos polígonos especiales que dan lugar a mosaicos muy vistosos como el Mosaico del Cairo, que recibe su nombre por estar presente con frecuencia en los pavimentos de esa  ciudad egipcia y en los murales y arte islámico, de ahí su nombre.

El pentágono posee aquí 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°

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Ver clip

La Teselación pentagonal de El Cairo, puede considerarse también hexagonal.

Pavimento en El Cairo
Pavimento en El Cairo

Los teselados de la Alhambra y Escher

Mosaicos en la Alhambra con el símbolo de Carlos V.
Mosaicos en la Alhambra con el símbolo de Carlos V.
Un azulejo renacentista, con una corona, la pavimentación en el suelo en la Alhambra de Granada, España.
Un azulejo renacentista, con una corona, la pavimentación en el suelo en la Alhambra de Granada, España.

Siempre había sido un enigma saber cuántas formas había para rellenar el plano con las teselas al estilo de la Alhambra. Se conocía como el problema del teselado o del friso. Había conjeturas pero no fue hasta 1910 que Ludwig Bieberbach primero demostró que el número de formas de solucionarlo era finito y posteriormente que solo había diecisiete formas simples de hacerlo.

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Lacerías en la Alhambra

Existen en la naturaleza diecisiete grupos cristalográficos planos, que se corresponde con el problema de las teselas. Pero un tema curioso es que hasta hace muy poco tan solo se habían identificado trece de ellos. Recientemente han aparecido los cuatro que faltaban.

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En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás  no resulta sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada puedan verse materializados en sus adornos. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra de Granada no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con baldosas(teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.

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El arte desarrollado por los árabes en la península Ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto. De acuerdo a los principios religiosos les estaba estrictamente prohibido a los artistas musulmanes representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana.

Más tamaños   Decoración Geométrica   Flickr  ¡Intercambio de fotos

Este motivo hace que la Alhambra de Granada tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíes-granadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura.

La Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos  cristalográficos planos.

Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.
Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.

Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.

Las cinco Teselas que más se repiten en los mosaicos de La Alhambra se llaman “el hueso”, “el pez volador”, ”el avión” , “la pajarita”, “el pétalo” y aunque no es propiamente una tesela “el sello de Salomón” es de las ornamentaciones más frecuentes.

Sello de Salomón
Sello de Salomón
El Avión (Construcción)
El Avión (Construcción)

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El Avión o El Sombrero (Construcción)
El Avión o El Sombrero (Construcción)
El pétalo (Construcción)
El pétalo (Construcción)
El Hueso (Construcción)
El Hueso (Construcción)
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Escher en relieve

ver clip

Todo lo relatado en este artículo se refiere a teselaciones periódicas del plano. En una próxima entrada sobre teselaciones, completaremos el tema tratando las Teselaciones NO periódicas. Queda pendiente.

Variaciones (2)

Ars Qubica y las teselaciones

Ayer llegó a mis ojos la primicia en Vimeo de “Ars Qubica”, la última creación del admirado y genial infógrafo aragonés Cristóbal Vila, un espléndido trabajo sobre el “arte” de la teselación; en él podemos recrearnos en las formas geométricas de conocidos monumentos como la fachada mudéjar de la Seo de Zaragoza o las baldosas hexagonales de Gaudí que pavimentan el suelo del Paseo de Gracia en Barcelona.

Una maravillosa obra de divulgación que como en otros trabajos de este genial diseñador (véase Inspirations o Nature by number) buscan mejorar la percepción de las matemáticas en la sociedad.

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Ars Qubica busca que las matemáticas conecten con cualquier persona a través del arte y por supuesto que lo consigue. En otra ocasión estudiaremos en este blog con detalle el inagotable mundo de las teselaciones periódicas como las del genial Escher o aperiódicas como las de Penrose, pero ahora se impone disfrutar de este prodigioso vídeo que espero disfruten.

Aquí presento un clip de prueba para una próxima publicación sobre teselaciones Periódicas y No periódicas.

 

Dalí y La Divina Proporción

Salvador Felipe Jacinto Dalí i Domènech, marqués de Dalí y de Púbol (Figueras, 11 de mayo de 1904 – ibídem, 23 de enero de 1989)
Salvador Felipe Jacinto Dalí i Domènech, marqués de Dalí y de Púbol (Figueras, 11 de mayo de 1904 – ibídem, 23 de enero de 1989)

Según Carme Ruiz -Jefa de Conservación y Restauración de la Fundació Dalí-

“Salvador Dalí era un hombre de muchas inquietudes. Una de ellas era el mundo científico, tal como nos muestran tanto su obra como el legado de su vida. En su biblioteca encontramos un centenar de libros, con anotaciones y comentarios en los márgenes, sobre diferentes aspectos científicos: física, mecánica cuántica, origen de la vida, evolución, matemática… Sabemos que al final de sus días estaba muy interesado en la obra de Stephen Hawking La historia del tiempo, además de en la teoría de las catástrofes del matemático René Thom, con quien mantenía una gran amistad. Pero no sólo encontramos estos libros, sino muchas revistas científicas que le hacían estar continuamente al día y a las cuales estuvo suscrito hasta el momento de su muerte. De esta forma, a través de su obra podemos realizar un recorrido histórico por los acontecimientos científicos de este siglo, al menos por los que le impresionaron especialmente”.

Es Matila Ghyka que entonces enseñaba en la Universidad de San Diego, quien pone en conocimiento de Dalí  La Divina proporción mediante Luca Paccioli y su uso en el arte. En estos dos cuadros que presento se hace un uso absolutamente intencionado de todos los elementos áureos: La divina proporción, el Rectángulo Áureo, El pentágono o Pentalfa que contiene a Fi, la Espiral áurea,…

Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.
Semitaza Gigante Volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud.

Esta obra se puede considerar como un homenaje exclusivo al rectángulo de oro y a la espiral áurea. Por otro lado, ese “anexo inexplicable” del título del cuadro y que sale del asa de la taza, obligando a prolongar el dibujo hacia arriba, es, en realidad, totalmente explicable: las dimensiones del cuadro (50 × 31 centímetros) están en proporción áurea, siendo tal anexo el elemento que justifica dichas dimensiones.

Gala Eluard Dalí (7 de septiembre de 1894, Kazán - 10 de junio de 1982, Portlligat) fue musa de varios artistas y la mujer de Salvador Dalí. Su nombre de nacimiento fue Elena Ivanovna Diakonova.
Gala Eluard Dalí (7 de septiembre de 1894, Kazán – 10 de junio de 1982, Portlligat) fue musa de varios artistas y la mujer de Salvador Dalí. Su nombre de nacimiento fue Elena Ivanovna Diakonova.
Leda Atómica
Leda Atómica

Leda atómica es un famoso cuadro del pintor español Salvador Dalí pintado en 1949. Está hecho mediante la técnica del óleo sobre lienzo, es de estilo surrealista y sus medidas son 61.1 x 45.3 cm. Se conserva en la Fundación Gala-Salvador Dalí, en Figueras, España.

Dalí escribió sobre el cuadro:

“La Leda atómica es el cuadro clave de nuestra vida. Todo está suspendido en el espacio, sin que ninguna cosa toque a otra. El propio mar se eleva a distancia de la tierra”.

Gala, la esposa de Dalí es representada como Leda, quien, según la leyenda, fue seducida por el dios griego Zeus transformado en cisne y dio a luz el huevo del que nacieron los dioscuros, Cástor y Pólux y las hermanas Helena y Clitemnestra.

Dalí quiere personificarse como el cisne pero a la vez, relaciona a Cástor y Pólux como dos almas gemelas analógicamente iguales a Gala y él mismo.

Leda está sentada sobre un alto pedestal, con los pies sobre pequeños pedestales flotantes, mientras acaricia al cisne volador. Todo en el cuadro flota, incluso el mar flota sobre la arena y nada tiene contacto con ninguna cosa, siguiendo la teoría física intra-atómica.

Entre los objetos que flotan están una escuadra de madera, un libro rojo que bien puede ser una Biblia, tres gotas concentradas de agua y un cascarón de huevo, símbolo de la vida, muy importante para Dalí.

Es importante mencionar el realismo con que es pintada Gala, de forma casi fotográfica. Al igual que el cisne, los cuadros de Dalí mostraban desde esa etapa un realismo increíble y muy elaborado.

La versión definitiva fue precedida de varios estudios a tinta china y de una pintura al óleo del mismo tema que no llegó a terminar. Con la ayuda de un matemático rumano a quien había conocido en California, el príncipe Matila Ghyka, Dalí realizó complicados cálculos teóricos durante tres meses que dieron lugar a la peculiar composición del cuadro. La pintura sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que el espectador no la aprecia a simple vista. En el boceto de 1947 se advierte la precisión del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico, el cual es una estrella de cinco puntas (Pentalfas). El triángulo central que encierra la figura de Leda es también áureo.

Espero que este clip sea de su agrado. Visionarlo en HD y en pantalla completa es una opción aconsejable.

Vídeo: Dalí y La Divina Proporción.

Autor: C. R. Ipiéns.