Los números transfinitos: La potencia del continuo; Hablemos del infinito (Parte III)

Aleph
Aleph

La potencia del “continuum”

En entradas anteriores, hemos comprobado como N, Z, Q y otros conjuntos (Pares, primos, triangulares…) poseen la misma potencia: Aleph sub cero. Uno podría empezar a preguntarse, con razón, si todos los conjuntos infinitos de números poseen la misma potencia, pero Cantor, como veremos enseguida, demostró de manera concluyente que no es éste el caso.

El conjunto de los números reales, por ejemplo, como veremos enseguida, posee mayor potencia que, hasta ahora, la única que conocemos: nuestro Aleph sub cero.

Para demostrar esto Cantor utilizó un razonamiento por reductio ad absurdum” (La reducción al absurdo consiste, básicamente, en suponer verdadero lo contrario de lo que deseamos demostrar y a partir de esa premisa llegar a una contradicción) comparando el conjunto de números naturales con el conjunto de los infinitos  números reales comprendidos entre 0 y 1: [0,1].

Nota: Es fácil probar que [0,1] es un conjunto infinito, bastaría encontrar una biyección entre él y uno cualquiera de sus sub-intervalos, lo que está probado, y hacer uso de nuestra definición Dedekind-Cantor de conjunto infinito dada en entradas anteriores.

El razonamiento fue el siguiente:

El argumento de la diagonal

Supongamos que el conjunto de números reales entre 0 y 1 es numerable (Posee la misma potencia que N, aleph sub cero) y supongámoslos expresados todos ellos como decimales que no terminan en una sucesión de ceros, que, por ejemplo 1/3 aparecería como 0,3333…, 1/2 como 0,499999… etc.

Cantor  nos propone considerar la siguiente ordenación de todos los infinitos números reales de [0,1]:

El argumento de la diagonal.
El argumento de la diagonal.

Este famoso argumento se conoce con el nombre de “Argumento de la Diagonal de Cantor”.

“Construyamos un número real”, en la que su primera cifra decimal sea la primera cifra decimal del primer número de la lista, su segunda cifra decimal la del segundo número de la lista, la tercera es la tercera cifra decimal del tercer número, etc. En la imagen anterior, nuestro número sería el 0,2496218… y tiene infinitas cifras decimales, ya que nuestra lista ordenada contiene infinitos números. Es fácil prever que el número que acabamos de construir coincide en una cifra decimal, al menos, con cada uno de los de la lista (la primera con el primero, la segunda con el segundo, la tercera con el tercero, etc.). Desde luego, es incluso posible que coincida en todas sus cifras decimales con alguno de la lista, y de hecho esto sucederá necesariamente si, como afirmamos al principio, nuestra lista contiene todos los números reales entre 0 y 1.

De nuevo aparece la genialidad del cejudo Cantor y nos propone:

“Hagamos sólo una cosa más…, sugiere Cantor”.

“Sumemos uno a cada cifra decimal del número construido, de modo que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0″. Nuestro número anterior será ahora, por tanto, 0,3507329…,¿y qué?, nos podemos preguntar, seguramente que este número también estará contenido en la lista, pues hemos aceptado como hipótesis que la lista contiene a todos y éste es uno de ellos.

De nuevo la intuición nos precipita. Analicemos la situación con algo de más calma:

Antes, la primera cifra coincidía con la primera del primer elemento de la lista, pero como le hemos sumado uno, acabamos de asegurar que nuestro nuevo número no coincide con el primero de la lista, pues esa cifra decimal ya no coincide. Igual ocurre con el segundo elemento: nuestro número no es ése, pues al menos en la segunda cifra decimal no coinciden. Y eso mismo pasa con absolutamente con todos los elementos de la lista. Así, nuestro número es distinto de todos y cada uno de ellos al menos en una cifra decimal, porque así lo hemos construido, es decir, nuestro número no está en la lista.

¡Hemos encontrado la contradicción!

Habíamos supuesto que [0,1] era numerable, es decir, que podríamos ordenar todos sus números (la lista contenía todos y cada uno de los infinitos números reales entre 0 y 1…) lo que, como acabamos de ver es falso, pues el número que hemos construido no se encuentra en la lista.

Dicho de otro modo el intervalo [0,1] es “incontable” en el sentido “cantoriano” más amplio, pues, no sólo no podemos contar el número de elementos que posee en el sentido cuantitativo (“tradicional”), sino que tampoco podemos ponerlo en biyección  con N, es decir, no podemos ordenarlos de ninguna manera. Su cardinal es infinito, pero “más infinito” que el de los naturales: es un infinito que decimos en Matemáticas “incontable”.

En forma de Teorema:

Teorema:  

“El conjunto de números reales del intervalo [0,1] no es numerable, es decir, no se puede poner en correspondencia uno-uno con el conjunto de los números naturales”.

Llegado a este momento, para extender este resultado al conjunto R de los números reales bastará con establecer una biyección entre este intervalo y los reales, no es difícil encontrar una tal biyección entre [0,1] y R, pongamos de ejemplo:

Biyección entre [0,1] y R
Biyección entre [0,1] y R

Es momento de poder exclamar ¡Hemos encontrado dos infinitos diferentes!, De modo que, ya no es posible decir simplemente infinito como contraposición a finito: el infinito empieza a dejar de ser la borrosa idea y sin distinción que el apeiron” griego nos proponía, sino que existen de diversos grados o tamaños, unos mayores que otros y, que como veremos más tarde, hasta se pueden ordenar.

Cantor denominó al nuevo infinito encontrado asociado a R, “potencia del continuo”, notado como “c” y posteriormente, como veremos ahora, por Aleph sub uno (ℵ1).

Potencia del continuo.
Potencia del continuo.
La potencia del continuo
La potencia del continuo

Cantor demostró una propiedad bastante sencilla y razonable (aunque, como ya hemos visto, la intuición se debe limitar enormemente en este terreno de lo infinito): Si dos conjuntos son numerables, también lo es el conjunto que se crea al unirlos.  Lo que le permitió explorar en el territorio siempre misterioso de los números irracionales.

Raíz cuadrada de 2, inconmensurable pitagórico.
Raíz cuadrada de 2, inconmensurable pitagórico.
Números Irracionales.
Números Irracionales.

Este conjunto ya atormentó a los pitagóricos hasta el punto que decidieron esconder su descubrimiento: guardaron en secreto la prueba de que la diagonal del cuadrado y su lado son inconmensurables. Como el conjunto de los números reales (no numerable como hemos visto) es la unión de racionales e irracionales, éstos tienen que ser no numerables ya que si fueran numerables, lo tendría que ser R por ser la unión de ellos y no lo es.

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En la entrada anterior hicimos alusión a la “densidad” de Q, en los términos de que entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que se encuentren siempre podremos encontrar infinitos más, pues bien, el conjunto I de los números irracionales es “infinitamente” más denso que el de los racionales, por poner un ejemplo gráfico:

Podemos emplear, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales.

Como acabamos de decir, los números racionales tienen la propiedad de ser densos. En otras palabras, en un segmento cualquiera [a,b] de la recta real, por mucho zoom que hagamos para “ampliar su tamaño” siempre veremos infinitos puntos azules infinitamente próximos entre sí.

Pero a pesar de este hecho, los racionales dejan “huecos” o “poros” en la recta real que son rellenados por los números irracionales, y sorprendentemente, el número de poros es “muchísimo” mayor que el de puntos azules (hasta el punto de que no se pueden numerar). El aspecto visual que tendría el segmento o la recta una vez rellenada con los números irracionales sería el de una línea roja.

Racionales irracionales segmento

Para entender la enorme diferencia de magnitud entre el número de números racionales y de irracionales (es decir, entre 0 y la potencia del continuo 1 ), hagamos el siguiente experimento mental: imaginemos que un jugador lanza un dardo de punta infinitamente fina sobre un segmento cualquiera de la recta real. Pues bien, ¿saben cuál es la probabilidad que tiene, a priori, de acertar en un número racional (un punto azul)? La respuesta es ¡0!.

Es decir, si eligiéramos un número real al azar, la probabilidad de que sea racional es ¡0!.

Resulta probado, pues, que I es no numerable mientras que ya sabíamos que Q sí lo es. Así que es la extrema densidad de los irracionales (ese conjunto cuya existencia descubrieron los pitagóricos del que se conocían no muchos elementos: los radicales de los números primos, el número Pi, el número áureo Fi, … ), la que asegura que la potencia del continuo es mayor que la de N.

aleph y potencia

“El conjunto de los números irracionales I tiene la potencia del continuo”. G. Cantor.

Pero Cantor iría todavía más lejos, y comienza a cuestionarse la existencia de un posible conjunto que tenga una potencia comprendida entre la potencia de N, 0  y la potencia del continuo, 1 que hemos descubierto hoy. En definitiva, Cantor empezó a conjeturar la conocida y cuestionada Hipótesis del Continuo.

Pero esto lo veremos en la próxima entrada. (haz click para seguir leyendo la Parte IV).