Una imagen se dice que presenta el efecto Droste cuando incluye dentro de ella una versión de menor tamaño de sí misma, la que a su vez incluye en un lugar similar una versión aún más pequeña de sí misma, y así sucesivamente. Sólo en teoría puede continuarse esta inclusión con reducción, una dentro de otra, pues en la práctica está limitada por la resolución de que es capaz la técnica de impresión que se emplee para las imágenes, ya que cada iteración reduce exponencialmente el tamaño de la imagen.
Efecto Droste: Marca de Cacao Droste.
Se comenzó a llamar así a este efecto luego de que Droste, una de las principales marcas alimenticias holandesas, comenzó a emplear una imagen recursiva impresa sobre sus envases de cacao en polvo. Esta imagen, con algunas variaciones a lo largo de los años, muestra a una niñera que lleva una bandeja con una taza de chocolate caliente junto a un envase de cacao Droste.
El efecto Droste no es una idea reciente. Por ejemplo fue utilizado por Giotto di Bondone en 1320 en su Tríptico Stefaneschi.
Tríptico Stefaneschi; Giotto di Bondone, 1320.
Hay también algunos ejemplos de libros de la Edad Media que repiten recursivamente su propia imagen, y vitrales en iglesias que muestran copias en miniatura del mismo vitral.
Otro ejemplo más actual lo tenemos En la portada del álbum Ummagumma de Pink Floyd se ve en una pared una reproducción recursiva de la misma imagen.
Hoy tenemos multitud de ejemplos en el mundo publicitario. Hasta flickr tiene una página dedicada especialmente a este efecto, es esta: Efecto Droste Flickr.
Uno de los tipos de imágenes recursivas que en ocasiones se confunden con el efecto Droste son las originadas a partir de la técnica efecto Escher en honor al pintor holandés Maurits Cornellis Escher (1898-1972) cuyas litografías exploraron diferentes técnicas especialmente enfocas a jugar con el espacio. Nosotros le llamaremos efecto Droste/Escher. Véase Litografias de Escher en este blog.
Aunque en forma invisible, el efecto Droste se encuentra en la obra de Escher Galería de grabados. Escher observó: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que el mismo aparece.» Una extensión lógica de la observación sería: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece…» Y esa es una buena descripción del efecto Droste.
Senglea, Malta
Si nos fijamos con atención, en la parte central de la obra queda un espacio en blanco que el autor deliberadamente no pintó.
Galería de grabados, Escher.
El punto ciego en el centro del grabado siempre ha sido un enigma. ¿Por qué lo dejó vacío Escher? Su propia respuesta fue: «Allí todo se vuelve tan detallado que proseguir hubiera sido imposible.»
El enigma no pudo resolverse hasta el año 2003 en el que con ayuda de un complejo algoritmo un equipo de matemáticos de la mano del profesor Hendrik Lenstra de la universidad de Leiden se consiguió rellenar el espacio dejado por Escher: se descubrió que el pequeño cuadrado blanco del centro se correspondía con el cuadrado mayor. Por lo tanto la trama del cuadrado mayor (y por ende el grabado completo) podía repetirse en el pequeño cuadrado blanco, muy reducida y rotada alrededor de 180 grados. Y, por supuesto, el pequeño cuadrado blanco contenía en su interior un cuadrado aún menor, y así hasta el infinito. Esto demostraba claramente la presencia oculta del efecto Droste (Rooster) en la Galería de grabados.
Bocetos, Galería de Grabados
Para un estudio matemático más riguros puede consultarse: Juegos del ingenio.
Bocetos, Galería de Grabados, Escher.
Finalmente se obtuvo el dibujo sin distorsionar sobre el que se basaba el grabado de Escher.
He puesto música a este clip presentado por la exposición que se celebró en la Alhambra sobre Escher. Espero sea de su agrado.
Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher (Leeuwarden, Países Bajos, 17 de junio de 1898 – Hilversum, Países Bajos, 27 de marzo de 1972), artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobrefiguras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 ó 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografías y grabados en madera, y también unos 2.000 dibujos y borradores. De muchos existen decenas de reproducciones, cientos e incluso miles de otros. Al final de su carrera destruyó algunas de las planchas para que no se realizaran más reproducciones de originales. También existen estudios y borradores de muchas de sus obras, en ocasiones también varias versiones de algunas de ellas. Muchas de su obras se vendieron masivamente poco después de su muerte y están esparcidas por el mundo. Un grupo importante está expuesto de forma permanente en el Museo Escher en La Haya, Holanda.
Como artista, M.C. Escher resulta difícil de clasificar. Se han hecho múltiples interpretaciones de sus obras, pero la realidad es que Escher no tenía grandes prentensiones ni mensajes que transmitir, sino que básicamente plasmaba lo que le gustaba. No basaba su trabajo en los sentimientos, como otros artistas, sino simplemente en situaciones, soluciones a problemas, juegos visuales y guiños al espectador. Visiones, en ocasiones, que le sobrevenían por las noches, que pasaban por su imaginación y que creía merecedoras de ser plasmadas en sus cuadros.
Él mismo reconocería que no le interesaba mucho la realidad, ni la humanidad en general, las personas o la psicología, sino sólo las cosas que pasaban por su cabeza. En cierto modo era alguien introvertido, dicen incluso que de trato difícil, que prefería crear su propio universo.
Los expertos coinciden, y es bastante evidente examinando la mayor parte de sus obras, en que una de sus principales características es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida.
El análisis de sus obras, tal y como definió Bruno Ernst, uno de sus biógrafos y amigo personal, permite clasificarlas básicamente en tres temas y diversas categorías:
La estructura del espacio – Incluyendo paisajes, compenetración de mundo y cuerpos matemáticos.
La estructura de la superficie – Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.
La proyección del espacio tridimensional en el plano – Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.
Desde el punto de vista matemático –geométrico-, la partición del plano y el infinito son dos temas que acompañan toda su obra.
La partición del plano, fue según sus propias palabras el tema que más le apasionó: «Es la fuente más rica de inspiración que jamás haya encontrado».
La idea de rellenar el plano con un mismo motivo se considera original suya, no influida por su aprendizaje. Afirmó: «Mucho antes de que, a raíz de visitar la Alhambra, descubriera cuán afín me es el problema de la partición de la superficie, yo había descubierto por mí mismo mi interés por él».
Ya en 1922 antes de visitar Granada imprime una plancha en la que están representadas ocho cabezas, cuatro al derecho y cuatro al revés.
Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.
Bocetos que realiza en uno de sus viajes a la Alhambra, inspiración de toda su obra de teselados.
Calzada romana que unía Legio VII Gemina (León) con Portus Blendium (Suances) —en la costa cantábrica— a su paso por el Valle del Besaya.Las calzadas romanas, tenían –entre otros- como objetivo el facilitar el paso de las personas, caravanas, animales, etc. Por tanto, una de las características más importantes que debieran cumplir sería que no admitiesen huecos para así evitar caídas y lesiones tanto de personas como de animales, generalmente cargados; es decir, se trataba de cubrir por completo la calzada; es, en este sentido, en el que podemos decir que una calzada romana es uno de los primeros ejemplos de la historia de la teselación, pues como veremos ahora una teselación, grosso modo, no es más que un recubrimiento del plano que no deja resquicios.
En la mitología griega las musas (en griego antiguo μοῦσαι mousai) eran, según los escritores más antiguos, las diosas inspiradoras de la música y, según las nociones posteriores, divinidades que presidían los diferentes tipos de poesía, así como las artes y las ciencias.
La palabra griega μoυσα-ης (mousa-es) significa ‘musa’; μουσειoς-α-oν (mouseios-a-on), ‘concerniente a las musas’; μoυσειoν-oυ (mouseion-ou), ‘templo de las musas’, ‘lugar donde residen las musas’.
Museo Arqueológico de Nîmes, Francia. Segunda mitad del siglo I a. C. La nadadora negra y el delfín.
La palabra μoυσειoν (mouseion) dio origen al latín musivus -a -um, que es el antecedente de mosaico. Se dice que los romanos consideraban tan exquisito el arte de hacer mosaicos que pensaban que solo podían crearlo las musas o los favorecidos por ellas.
Un mosaico (del latín mosaĭcum [opus], ‘[obra] relativa a las Musas, artística’) es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso, u otro aglomerante, para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas. Cuando las piezas empleadas son de madera se denomina taracea.
Teselas
La tesela es una pequeña pieza de piedra, terracota o vidrio coloreado que se utiliza para confeccionar un mosaico. La palabra proviene del latín tessella que, a su vez, procede del término griego τεσσερες.
Los romanos elaboraban los mosaicos con estas pequeñas piezas llamadas teselas, de ahí que se refiriesen a ellos también como opus o ars tessellatum. Las teselas son piezas de forma cúbica, hechas de rocas calcáreas o materiales de vidrio o cerámicas, muy cuidadas y elaboradas y de distintos tamaños. El artista las disponía sobre la superficie, como un rompecabezas, distribuyendo el color y la forma y aglomerándolas con una masa de conglomerante.
Parte de un mosaico romano del puerto de Ostia (Roma) del siglo II a.c.
En el mundo griego fue muy frecuente y desde muy temprano (desde fines del siglo V a. C.) el pavimento compuesto por guijas de río (piedrecillas que se encuentran en las orillas) de tamaños y de colores distintos. Con estas guijas se hacían dibujos sencillos de temas geométricos. A finales del siglo III a. C., las teselas vinieron a sustituir estos guijarros polícromos.
Los romanos llegaron a dominar el trabajo hecho con las teselas. Las primeras obras se hacían con teselas muy pequeñas y ya en época imperial el tamaño se hizo mayor, de un centímetro cuadrado. El mosaista llamado Sosos de Pérgamo hizo en el mosaico que se conoce con el nombre de Las palomas el trabajo de un gran profesional; este mosaico está compuesto con teselas muy pequeñas: sesenta teselas ocupan el espacio de un centímetro cuadrado.
Mosaico romano del Nacimiento de Venus, de finales del siglo II. Málaga. Museo de Málaga (Arqueología)
Las teselas se colocaban sobre un lecho de conglomerante casi líquido. Era una técnica que puede compararse con el puntillismo de los pintores impresionistas del siglo XIX. Para fabricar un pavimento hecho de mosaico había que seguir una serie de pasos que con el tiempo se fueron perfeccionando. El lugar de fabricación era un taller especial. Allí lo primero que se hacía era diseñar el cuadro y este trabajo tomaba el nombre de emblema, voz tomada del griego que viene a significar «algo que se incrusta en».
Significado y Sinónimos
Tesela: Pieza de los dibujos de un mosaico.
El concepto de teselación no forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE). El término que sí aparece es teselado, referido a aquello que se compone de teselas. Las teselas, a su vez, son los distintos fragmentos que forman parte de un mosaico (obra que se compone a partir de diferentes piezas o trozos).
Teselación: cubrir con teselas pavimentos, bóvedas,… cualquier superficie plana.
Una teselación (mosaico) del plano es una colección de regiones (Teselas, compactos con interior no vacío) llamadas “teselas” tales que:
Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera.
La unión de las teselas cubre totalmente el plano.
Tipos de Teselaciones:
Un poco de Historia
En 1936 Alan Turing demostró la existencia de problemas o situaciones para los que no existen algoritmos finitos; entre estos problemas, que engrosaron los indecidibles de Gödel, se encuentran algunas cuestiones que plantean las teselaciones Aperiódicas o No Periódicas. Más recientemente se ha sumado a éstos “indecidibles”, el problema de si las ecuaciones diofánticas, -Sistemas de ecuaciones polinómicas de coeficientes enteros con soluciones enteras- poseen o no tales soluciones. En estos momentos no existe ningún argumento matemático fiable que avale tal cuestión.
Sin embargo, el ambiente geométrico en el que se desarrollan las teselaciones del plano y del espacio están gobernadas por este tipo de ecuaciones y gran número de ellas se encuentran determinadas de forma precisa.
Una teselación se denomina “periódica” si existe una sección finita de la teselación (que puede estar formada por varias teselas) que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas (sin recurrir a giros o reflexiones), crear la teselación completa.
Una teselación es “aperiódica” o no periódica cuando no tiene traslaciones que hagan que coincida consigo misma.
Teselaciones periódicas: Teselaciones poligonales
Si nos planteamos un método eficaz con el que poder construir mosaicos fácilmente nos encontraremos con que un modo sencillo de hacerlo es usando distintos polígonos. No tenemos más que pensar en las típicas baldosas que ocupan los espacios de nuestras cocinas o los suelos. Si el mosaico está formado por un único tipo de polígonos regulares iguales se dice que el mosaico o la teselación es regular y, si está formado por más de un tipo de polígono regular se dice que es semi-regular. Si los polígonos son irregulares, decimos que la teselación es irregular.
Teselaciones Regulares.
Un primer planteamiento en el estudio de cómo teselar periódicamente el plano, sería el de la utilización de teselas poligonales. Diseños con este tipo de teselas aparecen en motivos ornamentales de múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe…). Los mosaicos poligonales planos han sido detalladamente estudiados.
El primer paso, consiste en emplear un único polígono regular.
Encontrar los polígonos regulares que teselan el plano, se reduce a resolver la siguiente ecuación diofántica:
Siendo x1 el número de polígonos y x2 el número de lados que concurren en un vértice. Las soluciones que se obtienen para esta ecuación son:
X1=6; x2=3, es decir, seis triángulos.
Nota: Para teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º. (Entendemos 360º por Plano)
Una segunda solución es: X1=4; x2=4, es decir, cuatro cuadrados. Para que un cuadrado tesele el plano será necesario que concurran 4 figuras en un mismo vértice, pues: 360º : 90º = 4
Por último, una tercera solución es la que viene dada por: X1=3; x2=6, es decir, tres hexágonos.
Como en las figuras anteriores podemos deducir que necesitamos que concurran 3 hexágonos en un vértice para teselar el plano, ya que: 360º/120º=3
Paseo de Gracia (Gaudí)
Vemos que el plano no se puede recubrir con pentágonos regulares puesto que 360º no es divisible por 108º que es la medida de un ángulo interior de un pentágono: 360º = 3 · 108º + 36º.
En general, tal como se ha mencionado anteriormente, para poder teselar el plano será necesario que los ángulos que concurran en un vértice sumen 360º (identificamos el plano con 360º) para que no queden huecos y poder ocupar todo el espacio del mosaico.
El siguiente paso sería plantear teselaciones con más de un polígono regular, a este nuevo tipo de teselaciones les llamamos semi-regulares.
Teselaciones Semi-regulares
Una Teselación semi-regular consiste en una pavimentación del plano con un mosaico d polígonos regulares de vértices comunes y arbitrario número de lados; conocer el número posible de ellas, se reduce a resolver la ecuación:
Donde mi es el número de polígonos de xi lados que concurren en un vértice.
Para el caso de sólo dos tipos de polígonos, la ecuación anterior adquiere la forma:
Que posee el siguiente conjunto de soluciones (Seis):
m1=3, m2=2; x1=3, x2=4: Tres triángulos y dos cuadrados.
m1=2, m2=2; x1=3, x2=6: Dos triángulos y dos hexágonos.
m1=4, m2=1; x1=3, x2=6: Cuatro triángulos y un hexágono.
m1=1, m2=2; x1=3, x2=12: Un triángulo y Dos dodecágonos.
m1=1, m2=2; x1=4, x2=8; Un cuadrado y dos octógonos.
m1=2, m2=1; x1=5, x2=10; Dos pentágonos y un decágono.
Para el caso de tres polígonos se incorporan dos soluciones más:
Un triángulo dos cuadrados y un Hexágono
Un cuadrado, un hexágono y un dodecágono:
Teselaciones Demi-Regulares
Una teselación demi-regular, también llamada una teselación polimorfa, es un tipo de teselación cuya definición es un tanto problemática. Algunos autores las definen como composiciones ordenadas de las tres regulares y las ocho teselaciones semirregulares, mientras que otros los definen como un mosaico que tiene más de una clase transitividad de vértices (que conduce a un número infinito de posibles teselados).
El número de mosaicos demi-regular comúnmente se da como 14 (Critchlow 1970; Ghyka 1977; Williams 1979; Steinhaus 1999). Sin embargo, no todas las fuentes aparentemente dan el mismo resultado. Por lo tanto, es necesario tener precaución al tratar de determinar qué se entiende por «teselación demi-regular.»
Los 20 teselados de la ilustración anterior fueron descubiertos por primera vez, por Krötenheerdt en 1969; Grünbaum y Shephard en 1986 estructurarían estos teselados con más precisión.
Cuando sólo usamos los tres teselados regulares y los 8 teselados semi-regulares. Existen 14 teselados demi-regulares. Algunos de ellos son:
Teselaciones Irregulares
Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselen el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el “encaje” con otra tesela con igual forma.
Los teselados irregulares están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que al igual que todas las teselaciones cubren toda la superficie sin sobreponerse y sin dejar espacios vacíos. La distribución de los polígonos en los distintos vértices es cíclica, pueden darse 3, 4, 5 y más distribuciones que harán que la periodicidad sea más espaciada requiriendo dibujar una gran porción de la tesela para poder ver un ciclo completo, para tal efecto veamos dos ejemplos de la distribución del pentágono:
Teselación de El Cairo
Hay algunos polígonos especiales que dan lugar a mosaicos muy vistosos como el Mosaico del Cairo, que recibe su nombre por estar presente con frecuencia en los pavimentos de esa ciudad egipcia y en los murales y arte islámico, de ahí su nombre.
El pentágono posee aquí 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.
Ver clip
La Teselación pentagonal de El Cairo, puede considerarse también hexagonal.
Siempre había sido un enigma saber cuántas formas había para rellenar el plano con las teselas al estilo de la Alhambra. Se conocía como el problema del teselado o del friso. Había conjeturas pero no fue hasta 1910 que Ludwig Bieberbach primero demostró que el número de formas de solucionarlo era finito y posteriormente que solo había diecisiete formas simples de hacerlo.
Alhambra 3
Existen en la naturaleza diecisiete grupos cristalográficos planos, que se corresponde con el problema de las teselas. Pero un tema curioso es que hasta hace muy poco tan solo se habían identificado trece de ellos. Recientemente han aparecido los cuatro que faltaban.
En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás no resulta sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada puedan verse materializados en sus adornos. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra de Granada no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con baldosas(teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes.
El arte desarrollado por los árabes en la península Ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto. De acuerdo a los principios religiosos les estaba estrictamente prohibido a los artistas musulmanes representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana.
Este motivo hace que la Alhambra de Granada tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíes-granadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura.
La Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos.
Apuntes originales de Escher, La Alhambra 1936.
Después de visitar la Alhambra por primera vez, Escher intentó unos nuevos diseños, de los que se conservan bocetos de 1926, todavía muy rudimentarios. Tras una segunda visita, esta vez junto con su mujer, en 1936, copió durante varios días motivos allí representados y descubrió un sistema para representar particiones periódicas del plano, consiguiendo descubrir los 17 grupos de simetría planos que figuran en la Alhambra, a pesar de sus rudimentarios conocimientos matemáticos. Pero no se detuvo aquí, sino que además introdujo el color, cosa que nadie había hecho hasta esa fecha.
Las cinco Teselas que más se repiten en los mosaicos de La Alhambra se llaman “el hueso”, “el pez volador”, ”el avión” , “la pajarita”, “el pétalo” y aunque no es propiamente una tesela “el sello de Salomón” es de las ornamentaciones más frecuentes.
La pajarita
El aviónEl Avión o El Sombrero (Construcción)El pétalo (Construcción)
Escher en relieve
ver clip
Todo lo relatado en este artículo se refiere a teselaciones periódicas del plano. En una próxima entrada sobre teselaciones, completaremos el tema tratando las Teselaciones NO periódicas. Queda pendiente.
Ayer llegó a mis ojos la primicia en Vimeo de “Ars Qubica”, la última creación del admirado y genial infógrafo aragonés Cristóbal Vila, un espléndido trabajo sobre el “arte” de la teselación; en él podemos recrearnos en las formas geométricas de conocidos monumentos como la fachada mudéjar de la Seo de Zaragoza o las baldosas hexagonales de Gaudí que pavimentan el suelo del Paseo de Gracia en Barcelona.
Una maravillosa obra de divulgación que como en otros trabajos de este genial diseñador (véase Inspirations o Nature by number) buscan mejorar la percepción de las matemáticas en la sociedad.
Ars Qubica busca que las matemáticas conecten con cualquier persona a través del arte y por supuesto que lo consigue. En otra ocasión estudiaremos en este blog con detalle el inagotable mundo de las teselaciones periódicas como las del genial Escher o aperiódicas como las de Penrose, pero ahora se impone disfrutar de este prodigioso vídeo que espero disfruten.
Aquí presento un clip de prueba para una próxima publicación sobre teselaciones Periódicas y No periódicas.
euclides59 
Debe estar conectado para enviar un comentario.