Importante: Este artículo y los que le suceden, sin perder la compostura matemática (rigor en lo que se dice), tiene como principal, y diría, que único objetivo acercar la idea de infinito con sencillez, divulgando, pero sin caer en la vulgaridad, al mayor número de lectores posibles, tengan o no formación matemática. Espero, sea «entendible». Dicho esto, comenzamos.
Una situación ingenua con la que a veces abordamos a nuestros alumnos:
De todos es conocido que los números naturales (en lo sucesivo N), son los llamados enteros positivos, y llamados así pues nos permiten contar los objetos de manera natural: 1,2,3,…,n,.., una primera clasificación de estos podría ser en Pares e Impares, pues bien, Cantor nos propone una primera e “ingenua” cuestión: Si el conjunto de números naturales (N) lo consideramos como un todo, es claro que el conjunto de los números pares (P) es una parte de dicho todo, ahí va la “ingenua” pregunta ¿qué conjunto de los dos posee más elementos?.
A esta cuestión, los alumnos abrumadoramente y cegados por la intuición responden con un convencimiento absoluto: N, que además de los pares contiene a los impares, y aunque, en principio, el lector no lo crea la respuesta es errónea.
Existen tantos números pares como naturales. Veamos cómo nos lo explica Cantor.
Pero esta respuesta y más sorpresas sobre el infinito la dejamos para esta y próximas entradas.
El Aleph
Zenon de Elea
Aporía del Estadio
El argumento es así: Un atleta debe correr la distancia de un estadio (El estadio era una unidad de longitud griega, que tomaba como patrón la longitud del estadio de Olimpia, que equivalía a 174,125 metros). Para llegar al final el atleta debe correr la primera mitad y para ello ha de correr previamente la mitad de esa mitad y así sucesivamente, de modo ilimitado, resultando que ni siquiera puede empezar a correr porque tendría que correr un conjunto ilimitado de distancias, siendo cada una la mitad de la siguiente. Esta aporía estaba dirigida contra los matemáticos que consideraban el espacio como una magnitud ilimitadamente divisible, porque Zenón pensaba que eso producía contradicciones al razonar.
Aporía de Aquiles y la Tortuga.
El argumento dice: Aquiles, el de los pies ligeros, corre para alcanzar a una tortuga que se halla a cierta distancia. Aquiles nunca la alcanza, porque cuando llega a donde estaba originariamente la tortuga ésta ha avanzado un trecho y cuando Aquiles corre ese trecho la tortuga ha avanzado otro trecho y así sucesivamente, de modo ilimitado.
Esta aporía es semejante a la del estadio, con la diferencia de que ahora se trata de la relación entre dos objetos móviles. Zenón está poniendo de relieve una contradicción que resulta de pensar el espacio como si fuera una magnitud ilimitadamente divisible. Notemos que en ambas aporías la divisibilidad ilimitada del espacio en relación a un movimiento entraña también la divisibilidad ilimitada del tiempo, algo con lo que Zenón tampoco estaba de acuerdo.
Desde los días del viejo Zenón y sus paradojas o aporías , los hombres no han cesado de hablar del infinito, tanto en teología, en filosofía o en matemáticas. Lo más frecuente era que en las discusiones sobre el infinito los ejemplos que se citaran fueran cosas tales como un poder ilimitado o una magnitud indefinidamente grande.
Aristóteles rechazó la idea del infinito dada las contradicciones que generaba. Sin embargo, lo concibió de dos formas diferentes las cuales son las nociones que tenemos actualmente de este concepto. Él concibió dos tipos de infinito: el infinito potencial y el infinito actual. «La noción de infinito potencial se centra en la operación reiterativa e ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un número natural, siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este y así sucesivamente donde esta última expresión «así sucesivamente» encierra la misma idea de reiteración ilimitada, al infinito.
Esta noción de infinito es la usada en las acepciones analizadas del DRAE y de hecho es la noción empleada en el desarrollo moderno del concepto de límite infinito y límite al infinito del cálculo infinitesimal en Matemáticas.
Si se entiende como infinito el concepto dado por la Real Academia Española se debe entender que infinito es todo aquello que «no tiene fin, término ni límite». Sin embargo, esta concepción puede no ajustarse a algunas nociones matemáticas en donde la idea de no tener fin, no tener límite o no tener término no es tan clara. Por ejemplo, se sabe que el intervalo [0, 1] (Conjunto de todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 ambos inclusive) es un conjunto infinito pero no es cierto que no tiene fin ni límite en el sentido de que es un conjunto acotado.
Por otra parte, el infinito actual se refiere a un infinito existente como un todo o unidad y no como un proceso. Kant aceptaba la posición de Aristóteles y rechazaba el infinito actual por ser imposible de ser alcanzado por la experiencia.
En el transcurso del tiempo, la atención sobre el infinito se centró en los infinitos elementos de una colección concreta, de lo que nos avisa Galileo con su famosa paradoja “Paradoja de Galileo”, que aparece en su libro “Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias” o más comúnmente: “Diálogos sobre dos nuevas ciencias”. La paradoja comienza con la afirmación de que un número natural es un cuadrado perfecto o no lo es. Un cuadrado perfecto no es más que el cuadrado de un número entero. Ahora, si a cada natural lo multiplicamos por si mismo vamos a obtener un cuadrado, que también será un natural.
Esto significa que hay tantos cuadrados como números naturales, lo cual es paradójico porque no todos los naturales son cuadrados. De hecho, a medida que avanzamos en la recta encontramos que aumenta la cantidad de números entre dos cuadrados. Esto insinúa que el todo no tiene porqué ser mayor que cualquiera de sus partes por separado.
Karl Weierstrass: «Un matemático no es digno de ese nombre si no es un poco poeta».
Cauchy y Weierstrass (Profesor de Cantor) pensaban que sólo podían resultar paradojas los intentos de identificar un “infinito completo” o “actual” en la matemática, creyendo que lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño no representaban más que las correspondientes potencialidades de Aristóteles, es decir, el carácter esencialmente incompleto del proceso en cuestión.
Aunque se encontraban bajo la influencia del análisis de Weierstrass, dos de sus discípulos Dedekind y Cantor llegaron, sin embargo, a una conclusión digamos opuesta.
Paradojas de Bolzano
En 1851 se publicaron “Las Paradojas del Infinito” de Bernard Bolzano. En esta obra analiza la siguiente serie:
El primero de ellos, Dedekind vio en las paradojas de Bolzano, no algo anómalo, sino justamente una propiedad universal de los conjuntos infinitos, que Dedekind adoptó como una definición precisa:
“Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito”
En una terminología más actual, un conjunto A se dice infinito, si existe un subconjunto propio A´ de A tal que los elementos de A´ se pueden poner en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los elementos de A.
Nota:
Esta definición <<positiva de un conjunto infinito completo>> no debe confundirse con la proposición que se expresa a veces utilizando el símbolo de Wallis:
esta expresión significa únicamente que no existe ningún número real, <<por grande que sea>> que multiplicado por 0 proporcione 1.
Georg Cantor
Cantor reconoció, lo mismo que Dedekind, la propiedad fundamental de los conjuntos infinitos, pero se dio cuenta además de que no todos los conjuntos infinitos son del <<mismo tamaño>>, cosa que no parecía haber pensado Dedekind.
Cantor encontró que la medición de un conjunto (ya sea finito o infinito), puede realizarse de dos maneras: una de ellas no considera nada más que la cantidad de elementos de un conjunto, mientras que la otra toma en cuenta el orden de los elementos. De esta distinción surgen los números cardinales y los números ordinales. Para conjuntos finitos, estos dos conceptos son equivalentes. Sin embargo, los dos conceptos difieren en el momento de aplicarse a conjuntos infinitos.
Puede ser el momento de comenzar un paseo, desde el inicio hasta el final, de las ideas que rondaban las cejas de Cantor.
Comenzamos:
Una situación ingenua con la que a veces abordamos a nuestros alumnos:
De todos es conocido que los números naturales (en lo sucesivo N), son los llamados enteros positivos, y llamados así pues nos permiten contar los objetos de manera natural: 1,2,3,…,n,.., una primera clasificación de estos podría ser en Pares e Impares, pues bien, Cantor nos propone una primera e “ingenua” cuestión: Si el conjunto de números naturales (N) lo consideramos como un todo, es claro que el conjunto de los números pares (P) es una parte de dicho todo, ahí va la “ingenua” pregunta ¿qué conjunto de los dos posee más elementos?.
A esta cuestión, los alumnos abrumadoramente y cegados por la intuición responden con un convencimiento absoluto: N, que además de los pares contiene a los impares, y aunque, en principio, el lector no lo crea la respuesta es errónea.
Existen tantos números pares como naturales. Veamos cómo nos lo explica Cantor.
Pero esta respuesta y más sorpresas sobre el infinito la dejamos para la próxima entrada (Haz click para seguir leyendo la segunda parte).
euclides59 
Dedekind decía que “Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito”.
Para sistemas como los números reales o racionales y en virtud de la propiedad arquimediana es sencillo imaginarse una biyección entre cualquier de sus subconjuntos y el propio conjunto, encima estos subconjuntos pueden ser cerrados
En los números naturales y enteros los subconjuntos (la parte con la que se relaciona el conjunto) tiene que ser siempre abierto (o semiabierto), por ejemplo, en los Naturales podemos relacionar N con el subconjunto [2,∞) .
2 1
3 2
4 3
.
n+1 n
Es decir, para los números naturales y enteros no valdría cualquier subconjunto como si pasa con los racionales y reales.
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